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수학

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11차시 - 반복법과 역행렬 (1) 1. 반복법 1) 야코비 반복법이란? 임의로 추측한 방정식의 해가 오차 범위에 도달할 때까지 되풀이 하는 방법 계수 행렬이 0을 많이 포함하는 연립방정식의 해를 구할 경우에 가우스(Gauss)의 소거법 보다 빠르게 수행할 수 있음. - 방정식의 a11, a22, a33원소의 절대값이 가장 큰 원소로 만듦. - 해를 구하기 위해서 보기 1의 방정식(1)를 x1에 대해서 (2)를 x2에 대해서, (3)를 x3에 대해서 보기 2와 같이 품. x1, x2, x3의 값을 임으로 추측하고, 추측한 값을 x1^(0),x2^(0),x3^(0)이라함. x1^(0), x2^(0), x3^(0) 값을 보기 1에 대입하여 x1^(1), x2^(1), x3^(1) 를 구함. 2) 오차한계 지정 오차 - 계산기로 연속적인 양을 ..
10차시 - 선형연립방정식과 해 (3) 4. 가우스 조르당 방법 1) 가우스 조르당 방법이란? 가우스 조르당 방법은 행렬의 역행렬을 구하기 위해서 사용되며, 이를 이용하여여 방정식의 해를 구할 수 있음. 방정식의 개수가 수십 개인 작은 크기의 연립방정식의 실근에 매우 근접한 해를 구할 수 있음. 가우스 소거법을 이용하여 변환한 상삼각행렬 U에 기본행 연산과정을 반복 적용하여 단위 행렬 I로 변환하면 첨가행렬 [Aᅵb]는 동치인 [Iᅵb’]이 되어 b’가 Ax=b의 해가 되도록 하는 방법 ※ 가우스 조르당 방법을 이용한 선형연립방정식의 해를 구하는 방법 1단계 - 전반 계산 → 첫 번째 방정식에서 x1의 계수를 1로 하기 위해 x1 항의 계수를 첫 번째 방정식으로 나눔. - 후반 계산 다른 모든 방정식에서 x1 을 소거 2단계 - 전반계산으로 ..
10차시 - 선형연립방정식과 해 (2) 3. 가우스 소거법 1) 가우스 소거법이란? n개의 방정식과 n개의 미지수로 이루어진 일반적인 선형 연립방정식 Ax = b의 해를 구하는 방법 해를 구할 수 있도록 문제의 방정식과 동치인 상삼각연립방정식 Ux = Y를 구성 -> 동치란 해집합이 동일한 두 개의 n x n 선형 연립방정식을 뜻함. 선형 대수학의 정의로부터 주어진 선형 연립방정식을 특별한 방법으로 변환하면 해집합은 변하지 않음. 방정식 개수가 수십개인 작은 크기의 연립방정식에서 실근에 매우 근접한 해를 구할 수 있음. 선형연립방정식에 다음 연산을 적용하면 동치인 선형 연립방정식을 구할 수 있음. 기본행연산 교환(interchange) : 두 방정식의 순서를 바꾼다. 크기조정(scaling) : 방정식에 0이 아닌 상수를 곱한다. 대체(rep..
10차시 - 선형연립방정식과 해 (1) 1. 선형연립방정식 1) 선형연립방정식이란? n개의 변수 x1, x2, ... , xn으로 이루어진 m원의 연립 1차 방정식 연립 1차 방정식을 행렬과 벡터를 이용하여 표현 한 개 혹은 여러개인 경우 무한히 많은 경우(부정) 없는 경우(불능) 2) 선형의존이란? 하나의 방정식이 다른 방정식들의 합으로 표현 가능 만일 m번째 방정식이 다른 방정식들에 대해 선형 의존한다면, m번째 방정식은 다음 아래와 같이 표현 선형 의존인 방정식은 해를 찾는데 부가적인 정보를 줄 수 없음 -> 선형 의존인 방정식을 제외하고 근을 구함 3) 선형의존의 예 3원 연립 방정식의 선형의존 예 선형의존인 방정식은 전체 해에 영향을 주지 않음 -> 선형 의존인 방정식을 제외하고 근을 구함 4) 불일치 한 방정식의 좌변은 다른 방정식..
9차시 - 방정식의 해법 3 (2) 2. 뉴턴방법의 수렴 1) 뉴턴방법의 수렴 반복함수 g(x)가 미분 가능하고 그 도함수가 연속이면 충분히 큰 n에 대해서 오차에 관한 근사식 만일 |g'(p)|가 작으면 작을수록 n→∞일 때 en은 더욱 빠른 속도로 0에 근접함. 따라서 g'(p) = 0일 때 그 수렴속도가 제일 빠름. 만일 g(x)가 2차 미분 가능하면, 테일러의 정리로부터 pn은 xn과 p사이에 있는 점 이므로, p-xn = en 이므로 다음의 식을 얻음. 만일 g'(p) = 0이면 g''(x)가 p에서 연속이면 n → ∞일 때 pn →p 이므로 g''(pn) → g''(p)가 됨. 따라서 충분히 큰 n에 대해서 g''(pn) ≈ g''(p) 이므로 다음과 같은 식이 얻어짐. 위 식은 e(n+1)이 en의 2차 함수임을 말하므로 이런..
9차시 - 방정식의 해법 3 (1) 1. 에이킨 방법 1) 에이킨 방법이란? 고정점 반복법보다 수렴속도가 더 빠름 반복함수 g(x)가 미분 가능하고 그 도함수 g '(x)가 연속이라고 가정, 또한 x0로부터 시작해서 반복법으로 수열 x1, x2,⋅⋅⋅을 얻고 이 수열이 한 점 p로 수렴한다고 가정하면 이 점 p가 g(x)의 고정점 앞의 식에서 알 수 있는 것은 (n+1)번째 반복 과정은 n번째 반복 과정에서 일차적인 관계 이런 경우 수열 x1, x2, x3, ⋅⋅⋅은 p에 일차 수렴한다고 함. 식 g(x) = x^3-1에 en = p-xn을 대입하면 이것을 변형하면 을 얻음. 이 것을 p에 관해서 풀면 을 얻음. 이제 rn을 로 정의 평균값 정리에 의해서 되는 점 ρn이 x(n−1)과 xn 사이에 존재함. 그리고 위의 식을 대입하면 여기서..
8차시 - 방정식의 해법 2 (2) 3. 고정적 반복법 1) 고정점 반복법이란? 주어진 함수의 반복함수를 구하여 이 반복함수의 고정점을 찾아냄. 고정점을 찾아냄으로써 그 함수의 근을 구함. 여기서 고정점이란, 어떤 점 x가 g(x)=x를 만족할 때 x를 g(x)의 고정점이라 함. 이 공식을 써서 만들어지는 수열 x1, x2, x3, ...이 어떤 점 p로 수렴하고 g(x)가 연속이라 하면 p는 g(p)의 고정점이고, 이 p는 수열 x1, x2, x3, ...의 극한이므로 함수 f(x)의 근. 따라서 함수 g(x)의 고정점 p가 함수 f(x)의 근이 되므로 함수 f(x)의 근을 구하는 문제는 함수 f(x) = 0으로부터 x = g(x) 되는 함수를 찾아서 방정식의 근을 구하기 위해 방정식의 해, 즉 g(x)의 고정점을 찾음. 이 고정점을 찾..
8차시 - 방정식의 해법 2 (1) 1. 할선법 1) 할선법이란? 미분을 사용하지않고 두 점의기울기를 통해점을 찾는 방법 이등분 법이나 가위치법에서는 함수 값이서로 반대의부호를 갖는 두 점을 찾아서 시작했으나 할선법에서는 근의 근방에 있는 임의의 두점 x0과x1을 시작점으로 취함 두 점 (x0,f(x0))과 (x1,f(x1))을 지나는 직선이 x축과 만나는 점 xc를 계산하는 방식이 할선법. xc가 구해지면 x1를 x0로 하고, xc를 x1로 하여 다시 식을 이용하여 계속 수정된 값을 구하는 방식이다. 주어진 [a, b]에서 a, b를 x0, x1으로 하여 반복식을 연속적으로 이용하여 근사 해를 계산하는 방법을 할선법 이라고 함. 2) 할선법 알고리즘 1. Set iteration=2 q0=f(p0), q1 = f(p)//p0=a,p1=b..

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