15차시 - 미분방정식과 해 2

1. 테일러 방법

1) 테일러 방법이란?

수치 해석적인 방법으로 미분방정식의 근사해를 찾는 방법

 

2) K차 테일러 방법

주어진 미분방정식을 만족하는 해의 k+1계 도함수 y^(k+1)이 [a,b]에서 연속이라고 하면 테일러 전개에 의하여 적당한 ξ∈[t,t+h]가 존재하여 다음 식이 성립

h가 0보다 작으면 hK+1은 매우 작게 되므로 t=t(n+1) (=tn+h)에서 다음 식이 성립

K차 테일러 방법이란

라 하면 다음 반복식에 의하여 해를 구하는 방법

 

1차 테일러 방법

- T1(t,y;h)=f(t,y)이므로 1차 테일러 방법은 오일러 방법이 됨.
- y는 t에 관한 함수이므로 함수 f(t, y)역시 t에 관한 함수
- k가 1보다 클 경우 고계도 함수를 사용해야 하는 어려움이 존재

 

3) 예제풀이 1

2차 테일러 방법을 이용하여 다음 방정식의 해의 근사값을 구하여라. 단, h=0.2

풀이

 

4) 예제풀이 2

2차 테일러 방법을 이용하여 다음 방정식의 해의 근사값을 구하여라. 단, h=0.2

풀이

다음표와그래프는y0,...,y10의결과이며,이방정식의해는 y=e^(5x)^2

 

5) 테일러 방법 알고리즘

알고리즘의 목적
- 미분방정식의 수치해를 구하기 위한 알고리즘

 

알고리즘의 변수

 

다음 방정식의 근사값을 구하는 알고리즘을 완성해보자(단, h=0.2).

 

 

2. 룽게-쿠타 방법

1) 룽게-쿠타 방법

목적

- 초기치미분방정식 y’(t)=f(t,y),a≤t≤b,y(a)=y0의 수치적인 해를 구하는 것으로 오일러 방법이나 테일러 방법에 비해 비교적 오차가 적음

 

Heun의 방법

 

개량된 오일러의 방법

 

4차 룽게-쿠타 방법

 

• 테일러 방법은 차수가 높으면 고계편도함수를 구해야 하는 단점
• 룽게-쿠타 방법은 반복식에서 증분함수를 적당하게 선택하여 고계편도함수를 사용하지 않고
• 근사값을 구할 수 있음
• 2차 룽게-쿠타 방법은 반복식에 a, b, α, β 를 구하여 사용하는 방법

 

2) 증분함수와 Heun의 방법

증분함수

 

Heun의 방법

Heun의 방법 : 위의 식을 만족하는 다양한 a, b, α, β에서 a=b=1/2, α=β=1로 택한 반복식

 

개량된 오일러 방법 : Heun의 방법에서 a=0, b=1로 택한 반복식

 

3) 예제풀이

(1)

Heun의 방법과 개량된 오일러 방법을 이용하여 다음 방정식의 해의 근사값을 구하여라. 단, h=0.1

 

(2)

Heun의 방법과 개량된 오일러 방법을 이용하여 다음 방정식의 해의 근사값을 구하여라. 단, h=0.1

 

 

4) Heun의 방법 알고리즘

알고리즘의 목적

- 미분방정식의 수치해를 구하기 위한 알고리즘

 

알고리즘의 변수

 

5) 개량된 오일러의 방법 알고리즘

알고리즘의 목적

- 미분방정식의 수치해를 구하기 위한 알고리즘

 

알고리즘의 변수

 

6) 예제풀이

다음 방정식의 근사값을 구하는 알고리즘을 완성해보자(단, h=0.1).

 

7) 4차 룽게-쿠타 방법 반복식

• 표의 값들을 비교할 때 Heun의 방법이 가장 참값에 근사
• 그러나 그 외의 방법도 모두 참값에 근사
• 더 큰 차수의 룽게-쿠타 방법도 같은 방법으로 유도 가능
• 차수가 높을 수록 오차는 작아지나 계산량은 그만큼 많아짐.
• 일반적으로 많이 사용되는 4차 룽게-쿠타 방법의 반복식

 

8) 적용하기

4차 룽게-쿠타 방법을 이용하여 다음 방정식의 해의 근사값을 구하여라. 단, h=0.2

풀이

이므로

와 같은 방법으로 다음과 같은 표를 얻는다.

 

9) 4차 룽게-쿠타 방법 알고리즘

알고리즘의 목적
- 미분방정식의 수치해를 구하기 위한 알고리즘

 

알고리즘

 

10) 적용하기

다음 방정식의 근사값을 구하는 4차 룽게-쿠타 방법의 알고리즘을 작성해보자. (단, h=0.2)