14차시 - 미분방정식과 해 1 (1)

1. 상미분방정식

1) 상미분방정식이란

상미분방정식
- 하나 또는 여러 개의 미지함수의 도함수를 포함하고 있는 방정식
- 1개의 독립변수에 대한 미분 항들로 구성된 미분 방정식

매트랩(MATLAB)에서의 상미분방정식
- 상미분 방정식은 매트랩(Matlab)의 dsolve 명령을 이용하여 기호적으로 계산 가능
- t를 독립 변수로 하고 y를 종속 변수로 하여 다음의 형식으로 표현

※ n계 미분방정식이란
- 1계 미분방정식 : 미지의 함수로 1계 도함수를 갖고 있는 방정식 F(x, y, y’)=0 또는 y’=f(x, y)로 나타낸다.
- 2계 미분방정식 : 2계 도함수를 가진 방정식
- n계 미분방정식 : 일반적으로 n계 도함수를 갖고 있는 방정식을 뜻한다.
- a≤x≤b일 때 초기조건 y(a)=a가 주어질 경우 초기치 문제라 한다.

 

2) 상미분방정식의 일반해

매트랩(MATLAB)을 이용한 상미분방정식의 일반해 구하기
- 매트랩(Matab)의 dsolve 함수는 전달된 상미분방정식을 풀이하는 함수로서 사용방법은 dsolve(‘eq’) 혹은 dsolve(‘eq’,’var’) 등의 형태로 사용 가능
- eq는 상미분방정식의 독립변수를 의미하며 미분의 경우 변수 앞에 문자 D를 추가

- 2, 3차 도함수의 경우 문자 D 뒤에 숫자 2, 3을 입력하여 사용가능

- var는 상미분방정식의 독립변수를 의미하며 입력하지 않을 경우 독립변수 t로 가정

 

3) 상미분방정식의 특수해

매트랩(MATLAB)을 이용한 상미분방정식 특수해 구하기

- 상미분방정식의 특수해를 구하기 위해선 경계 혹은 초기 조건이 필요(n차 방정식일 때, n개의 조건이 필요)
- dsolve(‘eq’, ‘cond1’, ‘var’) 또는 dsolve(‘eq’,’cond1’, ‘cond2’, ... , ‘var’) 등의 형태로 사용
- eq는 일반해에서의 eq와 동일하게 해를 구할 방정식을 문자열로 입력
- cond1는 경계 혹은 초기 조건을 입력하며 고차 방정식을 풀기 위해서는 부가적인 경계 조건이 필요
- 만약 조건의 수가 차수보다 작을 경우 적분상수(C1, C2, C3, ...)를 포함하는 해를 반환
- 경계조건은 eq와 같은 방식으로 다음과 같이 문자열로 입력

- var는 일반해에서의 var와 동일하게 독립변수 정의를 위해 사용하며 마찬가지로 생략 되었을 경우 독립변수는 t로 가정

 

 

 

2. 1계 미분방정식

1) 1계 미분방정식

변수분리형

- A(x)dx+b(y)dy=0, g(h)y'= f(x)등과 같은 형태의 방정식

- A(x)dx+b(y)dy=0와 같은 형태의 미분방정식은 항별로 적분하여 풀이
    A(x)dx+B(y)dy = c(c는임의의상수)

- 초기치 문제를 풀기위해 일반해를 구한 다음 문제에 주어진 초기 조건을 만족하는 상수 C를 결정

 

선형미분방정식

- y’+P(x)y=Q(x)에서 y와 y’가 1차인 1계 미분방정식
- 모든 x에 대하여 Q(x)가 0인 경우 제차 방정식
- 모든 x에 대하여 Q(x)가 0이 아닌 경우는 비제차 방정식

 

2) 선형미분방정식의 해법

제차방정식

- 미분방정식의 해를 구하는 방법

  (1) 미분방정식을 변수 분리

  (2) 양변을 적분
  (3) 양변에 지수항을 취함

  (4) 미분방정식의 해를 얻음

 

- 미분방정식 (a)의 해를 구하는 예

비제차 방정식

- 미분방정식 (a)의 해를 구하는 방법

 

3) 예제풀이

(1)

 

(2)