8차시 - 방정식의 해법 2 (2)

3. 고정적 반복법

1) 고정점 반복법이란?

주어진 함수의 반복함수를 구하여 이 반복함수의 고정점을 찾아냄.

고정점을 찾아냄으로써 그 함수의 근을 구함.

여기서 고정점이란, 어떤 점 x가 g(x)=x를 만족할 때 x를 g(x)의 고정점이라 함.

이 공식을 써서 만들어지는 수열 x1, x2, x3, ...이 어떤 점 p로 수렴하고 g(x)가 연속이라 하면

p는 g(p)의 고정점이고, 이 p는 수열 x1, x2, x3, ...의 극한이므로 함수 f(x)의 근.

따라서 함수 g(x)의 고정점 p가 함수 f(x)의 근이 되므로 함수 f(x)의 근을 구하는 문제는

 

 

함수 f(x) = 0으로부터

x = g(x) 되는 함수를 찾아서 방정식의 근을 구하기 위해 방정식의 해, 즉 g(x)의 고정점을 찾음.

이 고정점을 찾기 위해 시작점 x0부터 출발해서

을 차례로 구하여 수열 x1, x2, x3,...을 얻음.

 

이 수열이 수렴하는 극한값 p가 존재하면 p가 g(x)의 고정점.

따라서 p는 f(x)의 근이 됨.

이 때 g(x)를 반복함수라고 함.

 

 

조건

(1) 주어진 시작점 x0부터 수열 x1, x2, x3,⋅⋅⋅을 구할 수 있어야 함.

(2) 수열 x1, x2, x3,⋅⋅⋅은 한 점 p로 수렴해야 함.

(3) 극한 p가 고정점이 되어야 함. 즉, p = g(p)를 만족해야 함.

 

가정 1)

 

구간 I=[a,b]가 존재해서, I에 속하는 모든 x에 대해서 g(x)∈I 이다. 즉 g(x)는 구간 I를 다시 구간 I로 보내는 함수

 

가정 2)

반복함수 g(x)는 구간 I=[a,b]에서 연속

 

가정 3)

반복함수 g(x)는 구간 I=[a,b]에서 미분 가능하고 모든 x∈I에 대해서 |g'(x)| < K이 되는 상수 0 ≤ K < 1이 존재

 

 => 미분 가능한 함수는 연속이므로 가정 3이 만족되면 가정 2도 만족.

 => 따라서 가정1과 가정3으로부터 다음 정리를 얻음.

g(x)를 가정1과 가정3을 만족하는 반복함수라 하면, g(x)는 I에서꼭 하나의 고정점 P를 갖음. 또한 시작점 x0∈I로부터 고정점 반복법으로 만들어진 수열 x1, x2, x3,⋅⋅⋅은 고정점 P로 수렴

 

 

• 그림에서 보듯이 초기값을 x0 가정한 다음에 y0=g(x0)를 계산 후에 x1=y0 두고 다시 이것으로 부터 다음 값을 계산
• 이 과정이 함수의 화살표로 표시되어 있고, 함수에 따라 수렴 또는 발산하게 됨.
• 값이 수렴하기 위해서는 기울기의 절대값이 1보다 작아야 됨.

 

 

2) 고정점 반복법 알고리즘

 

 

3) 고정점 반복법 예제

1. f(x)=x^3-x-1일 때 함수의 근을 구하기 위한 반복함수 g(x)를 구하라.

 

풀이

 

 

2. f(x)=x^3-x-1.344일 때 초기값 2를 사용하여 고정점 반복법으로 구하라.

 

풀이

 

 

3. f(x)=x^3-x-1.344 일 때 초기값 2를 사용하고 매트랩으로 고정점 반복법으로 구하라.

9번 만에 근의 값이 1.4로 수렴하는 것으로 보아 뉴턴법보다는 수렴속도가 느린 것을 알 수 있다.