1차시 - 수치해석과 MATLAB(1)

1. 수치해석의 역사와 특징

1) 수치해석의 정의

 해석학 문제에서 수치적인 근사값을 구하는 알고리즘을 연구하는 학문

 

 연속수학 (continuous mathematics) 문제를 해결하기 위한 알고리즘을 연구하는 학문 → 이산수학 (Discrete Mathematics)과 구분

 

 자연과학, 공학, 의학, 그리고 사회과학 등에 나타나는 문제들 중, 수학적인 문제로 표현될 수 있는 문제들을 궁극적으로 컴퓨터를 이용하여 해결하고자 하는 수학의 실질적인 응용분야

 

 

공학적 문제의 접근방법

• 실험적 방법
  : 실험이나 관찰을 통해 수집한 데이터를 분석하여 인과관계를 규명하는 방법
    -> 신뢰성이 높은 장점
    -> 실험비용, 측정오차 문제가 발생하는 단점
• 이론적 방법
  : 주어진 문제에 가설을 세우고 수학적 증명을 통해 인과관계를 규명하는 방법
    -> 일반적 정보를 주는 장점
    -> 보통의 경우 선형문제에만 국한된다는 단점
• 수치해석적 방법
  : 주어진 공학적 문제에 해일 것으로 추정되는 수치를 차례로 대입하여 가장 작은 오차를 가진 수치를 해라고 판단하는 방법
    -> 복잡한 물리현상도 취급, 선형성과 무관, 실험적 방법보다 간단
    -> 반복계산의 부담

 

 

2) 수치해석의 역사

가장 오래된 수치해석

• 바빌로니아 사람들이 점토판에 육십진법으로 단위길이 사각형의 대각선의 길이인의 수치적 근사값을 구해놓은 것
• 2의 제곱근의 근사값이 육십진법으로 소숫점 이하 네자리까지 계산되어 있다.
• 이를 십진법으로 표기하면 소숫점 이하 여섯 자리이다.
• 그 값은 다음과 같다. 1 + 24/60 + 51/602 + 10/603 = 1.41421296...

 

수치해석의 의미

• 폰 노이만 이래 현대 컴퓨터의 태동과 발전의 직접적인 견인차였던 수치해석
• 자연현상의 이해, 실생활이나 우주탐험, 국방 등에서 필요한 예측결과를 컴퓨터를 통해 미리 알아 볼 수 있음
• 공학이나 자연과학에서 활발한 이용
• 수치해석은 다양한 현실적인 문제의 해결에 직접적인 도움 제공

 

현대 수치해석의 목표

• 정확한 해를 구하는 것이 실제로는 불가능한 경우가 많음
• 바빌로니아 사람들이 루트 2의 근사값을 구한 예에서 볼 수 있듯이, 현대의 수치해석 역시 정확한 해를 계산하지 않음
• 그대신 수치해석에서는 합리적인 수준의 오차를 갖는 근사값을 구하는 것에 집중

 

 

3) 수치해석의 응용

• 수치해석의 응용분야는 일반적으로 공학과 물리학
• 21세기에 들어서면서 그 응용분야가 확대되어, 생명공학과 과학적인 계산을 적용한 예술분야에서도 사용
• “상미분 방정식” 이라는 기법은 행성들의 움직임과, 포트폴리오 관리의 최적화 등에 이용
• “마르코프 연쇄” 기법 또한 의약과 생명분야에서 살아있는 세포에 대한 시뮬레이션을 하기 위한 필수항목으로 자리잡음

 

 

4) 수치해석의 문제 해결 방법

(1) 수학적 모형화 
 해결하고자 하는 문제를 역학, 생물학, 경제학 등의 기본 가설이나 법칙 들을 사용하여 상 및 편미분방정식, 대수방정식 등의 수학적인 문제로 변형하는 단계

 

(2) 수학적 분석

수학적 모형화 과정을 거쳐 생성된 수학적 문제를 미분방정식, 함수해석학, 기하학 및 대수학 등 가능한 수학의 이론들을 적용하여 해의 유일성, 존재성 및 정칙성 등을 분석하는 단계

 

(3) 수치적 분석

 좁은 의미의 수치해석이라고도 할 수 있는데, 앞의 수학적 분석에서 다뤄진 문제의 해가 존재하면, 이 해를 어떻게 컴퓨터를 이용하여 구할 것인가에 대한 수치적 알고리즘을 개발하고, 이 알고리즘을 적용하여 구한 해의 수렴성 판정 및 오차분석 등을 하는 단계

 

(4) 수치 실험

 실제로 가장 효율적인 수치 알고리즘에 따라 프로그램을 작성하여 원래 문제를 해결하는 단계